Partie entière et continuité

Rappel

Pour tout réel \(x\) , la partie entière de \(x\)  est le plus grand entier inférieur ou égal à \(x\) . Elle est notée \(\text{E}(x)\)  et vérifie \(\text{E}(x)\leqslant x <\text{E}(x)+1\) .

On considère la fonction  \(f\)  définie sur \(\mathbb R\)  par \(f(x)=\text{E}(x) +\sqrt{x-\text{E}(x) }\)

1. Démontrer que \(f\)  est continue sur \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\) .

2. Soit  \(n\in\mathbb Z\) .
    a. Calculer \(f(n)\) .
    b. Que vaut \(\text{E}(x)\) si \(n ? En déduire \(\lim\limits_{\substack{x \to n \\ x>n}}f(x)\) .
    c. Que vaut \(\text{E}(x)\) si \(n-1 ? En déduire \(\lim\limits_{\substack{x \to n \\ x.
    d. Que peut-on en déduire quant à la continuité de \(f\)  en \(n\)  ? sur \(\mathbb R\)  ?